正态分布模拟 - 在线免费使用

📊 正态分布模拟工具介绍

这是一款交互式的正态分布（钟形曲线）模拟工具，也叫「高尔顿板」（Galton Board）。小球从顶部投入，下落过程中碰到的每一排钉子都会让球随机向左或向右偏移，最终落入底部的收集槽。大量小球落下后，收集槽中堆积的球自然形成一条钟形曲线，直观展示正态分布的形成过程。

🎯 适用场景

• 数学教学：直观理解中心极限定理、二项分布到正态分布的过渡
• 概率统计：观察大量独立随机事件叠加后的统计规律
• 科普演示：向学生或朋友展示「随机中的秩序」
• 数据分析：理解均值 μ、标准差 σ 的几何意义

⚙️ 使用步骤

1. 点击「投 1 个球」投入单个小球，观察其运动轨迹
2. 点击「投 10 个球」或「投 100 个球」批量投球，加快分布形成
3. 点击「自动投球」开启连续投球模式，让曲线自然堆积
4. 拖动「钉子排数」滑块，观察排数越多曲线越平滑
5. 拖动「向左概率」滑块，观察分布偏移（均值改变）
6. 勾选「显示实际分布曲线」和「显示理论正态曲线」进行对比

📐 功能说明

• 钉子排数： 6~20 排可调，排数越多，二项分布越接近正态分布
• 向左概率： 0.2~0.8 可调，0.5 为公平硬币；偏离 0.5 会让分布向一侧偏移
• 下落速度： 1x~5x 可调，加快模拟进程
• 实际分布曲线： 红色曲线，展示当前收集槽中球数的实际分布
• 理论正态曲线： 绿色虚线，展示理想的正态分布 N(0, n)
• 实时统计： 显示总球数、均值 μ、标准差 σ
• 悬停查看： 鼠标悬停槽位可查看该槽的具体球数

💡 常见问题

• 为什么球会形成钟形曲线？ 每经过一排钉子，球左右移动的概率各半，最终位置服从二项分布 B(n, 0.5)，当 n 足够大时逼近正态分布 N(0, n)。
• 钉子和球的数量对结果有什么影响？ 钉子排数越多，分布越平滑、越接近正态；球数越多，实际分布越接近理论曲线。
• 把向左概率调成 0.6 会怎样？ 分布会整体向右偏移，均值 μ 不再为 0，但形状仍近似正态。
• 最多能投多少个球？ 单次模拟最多 5000 个球，足以展示清晰的分布形态。
• 为什么理论曲线和实际曲线有偏差？ 样本量有限时，实际分布会有随机波动；球数越多，两者越接近。

📚 背后的数学

设每排钉子让球向左的概率为 p，向右的概率为 1-p。经过 n 排钉子后，球落在第 k 个槽（相对中心偏移 k）的概率为：

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

当 p = 0.5 且 n 较大时，该二项分布趋近于均值 μ = 0、方差 σ² = n 的正态分布。